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這個(gè)例證可以引起兩種反駁的意見(jiàn).第一,具有這種數(shù)覺(jué)的動(dòng)物只限于極少的幾類,而在哺乳動(dòng)物中就沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這種才能,甚至猿猴也好像沒(méi)有.第二,就已經(jīng)知道的一切事例而言,動(dòng)物數(shù)覺(jué)的范圍實(shí)在太小,簡(jiǎn)直可以略而不論.
第一點(diǎn)意見(jiàn)我們是承認(rèn)的.這確乎是一個(gè)值得注意的事實(shí):識(shí)數(shù)的才能,不論是這種形式或那種形式,看來(lái)總是限于幾種昆蟲,幾種鳥類和整個(gè)人類.對(duì)于狗、馬和其他家畜所做的實(shí)驗(yàn)和觀察，都不曾發(fā)現(xiàn)它們有什么數(shù)覺(jué)。
至于第二點(diǎn)意見(jiàn)，卻沒(méi)有多大價(jià)值，因?yàn)槿祟惖臄?shù)學(xué)范圍也是十分有限的。尋常讓一個(gè)文明人去辨別數(shù)目的時(shí)候，他總有意無(wú)意地用其他的技能，諸如對(duì)稱圖形讀法、心計(jì)組合法、計(jì)數(shù)術(shù)等，來(lái)幫助他的直接數(shù)覺(jué)。特別是，計(jì)數(shù)已經(jīng)變成我們智能的如此重要的組成部分，所以用心理學(xué)的方法來(lái)實(shí)驗(yàn)我們的關(guān)于數(shù)的知覺(jué)，實(shí)在是很困難的。但是，話雖如此，現(xiàn)在還是有了一些進(jìn)展；根據(jù)精密安排的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，不能不下結(jié)論說(shuō)：普通文明人的直接視覺(jué)數(shù)覺(jué)，很少能超過(guò)四，至于觸覺(jué)數(shù)覺(jué)，范圍甚至還要小些。
人類學(xué)上關(guān)于原始民族的研究，加強(qiáng)了這個(gè)結(jié)論的可信程度。從這些研究得知，還沒(méi)有達(dá)到屈指計(jì)數(shù)階段的野蠻人，幾乎完全滑關(guān)于數(shù)的知覺(jué)。澳洲、南海群島、南美洲和非洲的許多部族都是如此。柯爾（Curr）對(duì)于澳洲的原始民族有過(guò)廣博的研究，他以為只有很少的土人能夠辨別四，處于野居狀態(tài)中的澳洲土人沒(méi)有人能了解七。南非洲的布須曼（Bushmen)族，除了一、二和多之外，再?zèng)]有別的數(shù)字了，而這三個(gè)字又是那么語(yǔ)調(diào)含糊，那些土人是否賦予了它們以明晰的意義，也還是個(gè)疑問(wèn)。
我們決沒(méi)有理由相信，我們的遠(yuǎn)祖有更高的天賦，卻有許多理由使我們懷疑這種想法，試看各種歐洲語(yǔ)言，幾乎都帶有這種早期局限性的痕跡。英文的Thrice和拉丁文的Ter，同樣的有雙重意義：
